Phương trình hoành độ giao điểm:  m x - 1 x + 2 = 2 x - 1   ( 1 )

Điều kiện: x ≠ - 2  Khi đó

 (1)  Suy ra: mx-1=(2x-1) (x+2) hay 2x²-(m-3)x-1=0     (2)     

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B khi và chỉ khi  (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( 2)  có hai nghiệm phân biệt khác -2

⇔ ∆ = [ - ( m - 3 ) ] 2 + 8 > 0 8 + 2 m - 6 - 1 ≠ 0 ⇔ m   ≠ - 1 2 ( * )

Đặt A( x₁; 2x₁-1); B( x₂; 2x₂-1) với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (2).

Theo định lý Viet ta có   

x 1 + x 2 = m - 3 2 x 1 x 2 = - 1 2 , k h i   đ ó

A B = ( x 1 - x 2 ) 2 + 4 ( x 1 - x 2 ) 2 = 10 ⇔ 5 [ ( x 1 + x 2 ) 2 - 4 x 1 x 2 ] = 10 ⇔ ( m - 3 2 ) 2 + 2 = 2 ⇔ m = 3        

thỏa (*).

Vậy giá trị m cần tìm là m =3.

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d

Khi đó d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Ta có

Và 

Từ đây ta có 

 ( thỏa mãn *)

Vậy chọn m = 0 hoặc m = 6

Đáp án B

Đáp án là D 

Đường thẳng AC qua A ( -2;3 ); C ( 4;1 ) nhận A C → = 6 ; - 2  làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình là: x + 2 6 = y - 3 - 2 ⇔ y = - 1 3 x + 7 3  

Tọa độ giao điểm của AC và BD là nghiệm của hệ phương trình  3 x - y - 1 = 0 y = - 1 3 x + 7 3 ⇔ x = 1 y = 2

Để ý rằng A C ⊥ B D  và I là trung điểm AC.

Khi đó ABCD là hình thoi thì I ( 1;2 ) là trung điểm của BD.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: 2 x + 1 2 x - m = 3 x - 1 ⇔ 6 x 2 - 3 m + 4 x + m - 1 = 0  

Do ∆ = 3 m + 4 2 - 4 . 6 m - 1 = 9 m 2 + 24 > 0 , ∀ m  nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt B và D.

Gọi x 1 , x 2  là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lý Viet ta có  x 1 + x 2 2 = 3 m + 4 12

Đáp án A

Để I là trung điểm của BD thì 3 m + 4 12 = 1 ⇔ m = 8 3

Đáp án A

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+3x=x+m^2\Leftrightarrow x^2+2x-m^2=0\)

Pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=-m^2\end{matrix}\right.\) 

Do I là trung điểm đoạn AB \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=-1\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{x_A+m^2+x_B+m^2}{2}=m^2-1\end{matrix}\right.\)

Mà I thuộc d'

\(\Leftrightarrow y_I=2x_I+3\Leftrightarrow m^2-1=2.\left(-1\right)+3\)

\(\Leftrightarrow m^2=2\Rightarrow m=\pm\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\sum m^2=4\)